Analisi Superiore 2 - a.a.2013/2014

Rinaldo M. Colombo

Programma Svolto

• 04.10.13, 2 ore, Aula 4, 2
  Presentazione del corso: programma, esame. Definizione di spazio vettoriale topologico. Invarainza per traslazione della topologia. Esempi di spazi vettoriali topologici: spazi normati e non. Esempi di spazi di funzioni e loro struttura: C⁰([a,b];R), C^k([a,b];R), C⁰(R;R), C^k(A;R), L^p(A;R), W^k,p(A;R), (in particolare W^1,1(A;R) e W^1,∞(A;R) ), C^0,α([a,b];R).

• 11.10.13, 2 ore, Aula 4, 4
  Spazi vettoriali topologici: prime proprietà. Proprietà della chiusura della somma di due insiemi, con dimostrazione, del prodotto scalare per insieme, dimostrazione per esercizio. Un aperto contiene "ogni direzione", con dimostrazione. Definizioni ed esempi di insiemi convessi, bilanciati, assorbenti, simmetrici. Un insieme bilanciato è anche simmetrico. Due lemmi sulla possibilità di scegliere intorni dell'origine con proprietà aggiuntive, con dimostrazione. In uno spazio vettoriale topologico: la chiusura di un sottospazio vettoriale è un sottospazio vettoriale, con dimostrazione; ogni sottospazio vettoriale è a sua volta uno spazio vettoriale topologico, con dimostrazione; lo spazio quoziente rispetto ad un sottospazio chiuso è uno spazio vettoriale topologico, senza dimostrazione; ogni sottospazio di dimensione finita è chiuso. Definizione di insieme limitato, motivazione e proprietà elementari (con dimostrazione): ogni insieme finito è limitato; l'unione, e la somma di 2 limitati sono limitate; un sottospazio limitato è banale. Compattezza e compattezza per successioni: definizioni. Un compatto è chiuso e limitato, con dimostrazione. Esempi0 di insieme chiuso e limitato non compatti, in dettaglio. Un sottospazio compatto è banale, con dimostrazione. Uno spazio vettoriale localmente compatto ha dimensione finita, enunciato.

• 17.10.13, 2 ore, Aula 7, 6
  Uno spazio vettoriale localmente compatto ha dimensione finita, con dimostrazione. Definizioni di limite per successioni in spazi topologici, metrici e vettoriali topologici. Discussione sulla definizione di limite. Condizione di Cauchy in spazi metrici e vettoriali topologici. Una successione di Cauchy è limitata, con dimostrazione. Una successione convergente è di Cauchy, con dimostrazione. Una successione convergente è limitata. Separabilià: definizione, esempi, l^∞ non è separabile, con dimostrazione. Richiami sul teorema di Ascoli-Arzelà. Definizione di semnorma.

• 18.10.13, 2 ore, Aula 4, 8
  Definizione di famiglia separante di seminorme, di spazio seminormato, esempi e principali proprietà. Richiami di topologia: definizione di una topologia attraverso i sistemi fondamentali di intorni. Definizione di spazio localmente convesso. Ogni spazio seminormato è localmente convesso, con dimostrazione. Definizione di funzionale di Minkowski di un insieme B, proprietà del funzionale dovute al fatto che B è assorbente, bilanciato, convesso, limitato, con dimostrazione; ruolo della topologia. Uno spazio localmente convesso ammette un sistema fondamentale di intorni convessi e bilanciati, con dimostrazione. Ogni spazio localmente convesso è anche seminormato, con dimostrazione.

• 24.10.13, 3 ore, Aula 7, 11
  Uno spazio seminormato con una famiglia separante numerabile di seminorme è metrizzabile con una metrica invariante per traslazione, con dimostrazione. Spazi vettoriali normati: definizione, esempi. Completamento di uno spazio normato: costruzione. Quasi perpendicolarità in spazi di Banach, motivazione, dimostrazione. Caratterizzazioni degli spazi di dimensione finita: locale compattezza (con dimostrazione), il Teorema di Peano (enunciato, senza dimostrazione, richiami sul Teorema di Cauchy). Definizione di applicazione lineare e principali proprietà. Continuità di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali topologici, con dimostrazione. Un'applicazione lineare limitata (nel senso delle funzioni) è banale, con dimostrazione. Limitatezza di un'applicazione lineare: definizione, definizione di norma di un'applicazione lineare. Limitatezza e continuità di un'applicazione lineare, con dimostrazione. Esempi di funzioni definite su spazi di dimensione infinita: la derivazione, l'integrazione (definita e non), la soluzione di un problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria. Proprietà dello spazio delle applicazioni lineari e continue tra spazi vettoriali normati o di Banach, con dimostrazione. Duale di uno spazio vettoriale: definizione, esempi. Definizione di spazio riflessivo, mappa di James: la mappa di James è un'isometria lineare, con dimostrazione. Usi della riflessività, cenni alla teoria del controllo.

• 25.10.13, 2 ore, Aula 4, 13
  Quasi perpendicolarità in spazi di Banach, motivazione, dimostrazione. Una condizione di normabilità, con dimostrazione. Legame tra norma e geometria della sfera unitaria: esempi. Definizione di spazio uniformemente convesso: esempi; proprietà (senza dimostrazione). Spazi prehilbertiani (o unitari): motivazione, definizione, esempi, principali proprietà, con dimostrazione. Cenni agli spazi L² e l². Spazi di Hilbert: definizione, esempi. Il teorema della migliore approssimazione, con dimostrazione. Applicazione alle serie di Fourier: giustificazione delle formule per il calcolo dei coefficienti di Fourier, ruolo dell'ortogonalità e della (non) ortonormalità, minimizzazione della distanza L² tra una funzione ed un poliomio trigonometrico.

• 31.10.13, 3 ore, Aula 7, 16
  Continuità di un funzionale lineare e proprietà del suo kernel, con dimostrazione. Codimensione del nucleo di un funzionale lineare, con dimostrazione. Estensione di una funzione uniformemente continua, senza dimostrazione. Duale di un sottospazio denso e duale del completamento, con dimostrazione. Uno spazio "piccolo" ha un duale "grande", con dimostrazione. Lo spazio delle distribuzioni: definizione. Identificazione tra un Hilbert ed il suo duale, con dimostrazione. Il Teorema di Hahn Banach: enunciato, dimostrazione, uso e ruolo del Lemma di Zorn, osservazioni. Conseguenze del Teorema di Hahn-Banach: il caso complesso (senza dimostrazione), il duale di uno spazio localmente convesso è non banale (con dimostrazione). Introduzione alle topologie deboli: ruolo della compattezza.

• 07.11.13, 3 ore, Aula 7, 19
  Topologie deboli: definizione, principali proprietà (con dimostrazione). Tra cui: chiusura debole e forte per i convessi, gli aperti deboli sono illimitati, la topologia debole è diversa da quella forte in dimensione infinita, il primo principio di limatetzza uniforme.

• 08.11.13, 2 ore, Aula 4, 21
  Richiami sul Teorema di Baire e sul Teorema di Tychonov. Successioni e topologia debole, varie proprietà elementari con dimostrazione. Spazi riflessivi: mappa di James e sue proprietà, con dimostrazione; definizione di spazio riflessivo; proprietà elementari degli spazi riflessivi, con dimostrazione. Il Teorema di Milman e il Teorema di Kakutani, senza dimostrazione. Topologia debole*: definizione, secondo principio di limitatezza uniforme, relazione con le topologie debole e forte, con dimostrazione. Il Teorema di Banach -Alaoglu, con dimostrazione.

• 14.11.13, 2 ore, Aula 7, 23
  Introduzione alle leggi di conservazione. Le equazioni semilineari, nascita di discontinuità.

• 15.11.13, 2 ore, Aula 4, 25
  Motivazione del nome. Equazioni semilineari nel piano: un modello per la crowd dynamics. Definizioni di soluzione debole e di soluzione integrale: analogie e differenze, scelta della definizione "migliore" e perché. Due esempi-guida: l'equazione di Burger e il modello LWR per il traffico stradale. Nascita delle discontinuità e necessità di occuparsene. Definizione di problema di Riemann. Simmetrie di una legge di conservazione. Introduzione alla soluzione del Problema di Riemann. Rarefazioni: espressione esplicita generale e nel caso del modello LWR.

• 21.11.13, 3 ore, Aula 7, 28
  Il problema di Riemann nel caso di flussi concavi: condizioni di Rankine-Hugoniot come conseguenza della definizione di soluzione integrale, come consegenza della definizione di soluzione debole per esercizio; rarefazioni, shock, scelta delle soluzioni in base alla stabilità, cenni all'entropia ed alla vanishing viscosity. Esempio: il modello LWR.

• 22.11.13, 2 ore, Aula 4, 30
  Onde di shock e di rarefazione in una legge di conservazione scalare 1D.

• 29.11.13, 2 ore, Aula 4, 32
  Seminario di N. Pogodaev (Irkutsk, Accademia delle Scienze). Il problema di Riemann per una legge di conservazione scalarae 1D con flusso PLC.

• 05.12.13, 2 ore, Aula 7, 34
  Il problema di Riemann per una legge di conservazione scalare 1D con flusso C².

• 06.12.13, 2 ore, Aula 4, 36
  Il wave front tracking per una legge di conservazione scalare 1D.

• 12.12.13, 2 ore, Aula 7, 38
  Introduzione ai sistemi di leggi di conservazione.

• 13.12.13, 2 ore, Aula 4, 40
  Il problema di Riemann per un sistema di leggi di conservazione.

• 19.12.13, 2 ore, Aula 7, 42
  Il problema di Riemann per un sistema di leggi di conservazione. Cenni al wave front tracking.

• 20.12.13, 2 ore, Aula 4, 44
  Il p-sistema in coordinate Euleriane: curve di Lax, il Problema di Riemann, il vuoto.

• 09.01.14, 2 ore, Aula 7, 46
  Il p-sistema in coordinate Lagrangiane: curve di Lax, il Problema di Riemann, il vuoto, transizioni di fase.

• 10.01.14, 2 ore, Aula 4, 48
  Cenni alle equazioni di evoluzione in spazi metrici.